Куат Байгоджаев трудовую деятельность начал в 1983 году учителем средней школы имени Ы. Алтынсарина в селе Шелек. Занимал руководящие должности. Был акимом Корамского, Шелекского, Аватского сельских округов Енбекшиказахского района. Занимал должность советника акима Енбекшиказахского района, начальника отделов образования, внутренней политики, культуры и развития языков Енбекшиказахского района.
В разные годы был первым заместителем председателя Енбекшиказахского районного филиала партии AMANAT, исполнительным секретарем Енбекшиказахского районного филиала партии AMANAT, Енбекшиказахского района, исполнительным секретарем Алматинского областного филиала партии AMANAT.
Он также остается председателем Алматинского областного филиала партии AMANAT.
Ранее председателем Алматинского областного маслихата был Талгат Байедилов — он назначен акимом Енбекшиказахского района.