Ануар Каиргельдыевич Кумпекеев окончил Московский государственный университет имени Ломоносова по квалификации «бакалавр экономики», в 2007 году получил степень магистра экономической политики в Брэдфордском университете в Великобритании, выпускник международной стипендии Президента «Болашак».
Трудовую деятельность начал в сентябре 2005 года ведущим специалистом Департамента экономики и финансов Министерства здравоохранения Республики Казахстан. С октября 2007 года работал директором департамента стратегического развития, директором департамента маркетинга и коммерциализации РГП «Национальный центр биотехнологии Республики Казахстан». С сентября 2008 года работал на различных руководящих должностях в коммерческих структурах. С декабря 2009 года директор департамента АО «Казахстанский центр модернизации и развития ЖКХ», с июля 2011 года член правления – управляющий директор.
С июля 2012 года занимал должности заместителя акима города Степногорск Акмолинской области, с мая 2015 года — акима города Степногорск, с августа 2018 года — акима города Павлодар.
С октября 2019 года являлся советником председателя правления АО «Транстелеком». С октября 2020 года по настоящее время работал заместителем председателя правления АО «Транстелеком».