Азат Исламов родился 16 ноября 1987 года в Шымкенте. Окончил Казахский национальный университет имени Аль-Фараби по специальности «Государственное и местное управление».
Трудовую деятельность начал в 2010 году исполняющим обязанности главного специалиста аппарата акима города Талгар Алматинской области. В 2011–2012 годы главный специалист-государственный инспектор отдела государственного контроля за использованием и охраной земель межрегиональной земельной инспекции по Алматинской области и Алматы Агентства Республики Казахстан по управлению земельными ресурсами, территориальной земельной инспекции по городу Алматы Комитета по управлению земельными ресурсами — государственный инспектор.
В 2015 году — руководитель отдела государственного контроля за использованием и охраной земель территориальной земельной инспекции по городу Алматы Комитета по управлению земельными ресурсами Министерства регионального развития РК.
В 2015–2019 годах — руководитель отдела государственного контроля за использованием и охраной земель управления контроля за использованием и охраной земель Алматы.
В 2019–2020 годах — заместитель руководителя управления градостроительного контроля Алматы. в 2020–2023 годах — руководитель отдела учета и распределения жилья управления жилищной политики Алматы, в дальнейшем — руководитель управления развития коммунальной инфраструктуры Алматы.
С февраля 2024 года исполнял обязанности руководителя управления жилья города Шымкент.